Les vecteurs

Intro :

Ceci constitue un petit cours sur les vecteurs que vous avez vus normalement au lycée.

Un vecteur est une entité mathématique qui désigne aussi bien une position qu'une direction dans un repère donné.

Un vecteur peut servir à représenter une force, une position, une vitesse, par exemple la direction à laquelle une personne regarde, etc...

Dans cet article on notera un vecteur \({v}\) plutôt que \(\vec{v}\).

Prérequis :

- Avoir déjà lu et compris quelques rudiments sur les mathématiques des vecteurs.

Explications :

Un vecteur se note de cette façon : \(v=({x,y,z})\)

Opérations sur les vecteurs :

Obtenir la négation d'un vecteur :

\(-v=-({x,y,z}) = ({-x,-y,-z})\)

On peut ajouter deux vecteurs :

\({v + w} = {({v_{x},v_{y},v_{z}}) + ({w_{x},w_{y},w_{z}})} = ({v_{x} + w_{x},v_{y} + w_{y},v_{z} + w_{z}})\)

Soustraire deux vecteurs :

\(\begin{split}{v - w} = {v + (-w)} &= {({v_{x},v_{y},v_{z}}) + ({-w_{x},-w_{y},-w_{z}})}\\&= ({v_{x} - w_{x},v_{y} - w_{y},v_{z} - w_{z}})\end{split}\)

Multiplier un vecteur par un scalaire :

\(\textbf{k}v = ({\textbf{k}v_{x}, \textbf{k}v_{y}, \textbf{k}v_{z}})\)

On peut inverser la direction d'un vecteur dans le même genre :

\({({-1})}v = -v = ({-v_{x}, -v_{y}, -v_{z}})\)

On peut calculer la longueur d'un vecteur (en utilisant le théorème de Pythagore),
nommée aussi "norme" :

\(\|v\| = \sqrt{{v}_x^2+{v}_y^2+{v}_z^2}\)   Lien démonstration

On peut calculer la distance entre deux vecteurs :

\(distance({a}, {b})=\|{b}-{a}\|=\sqrt{({b}_x-{a}_x)^{2}+({b}_y-{a}_y)^{2}+({b}_z-{a}_z)^{2}}\)

Normaliser un vecteur (rendre sa longueur de 1 unité) :

\({v}_{norm}=\frac{{v}}{\|{v}\|}\)

Il existe aussi deux autres opérations qui sont : le produit scalaire et le produit vectoriel.

L'opération du produit scalaire donne comme résultat un nombre (d'où le nom "scalaire") :

\({v}\cdot{w}={v}_{x}{w}_{x}+{v}_{y}{w}_{y}+{v}_{z}{w}_{z}\)

Il s'exprime aussi avec la fonction cosinus avec comme paramètre l'angle entre les deux vecteurs :

\({v}\cdot{w}=\|{v}\|\times\|{w}\|\times\cos(\theta)\)

Le produit scalaire est par exemple une opération fondamentale dans le calcul des lumières dans le rendu graphique 3D.

On peut trouver l'angle entre les deux vecteurs ainsi :

\(\theta=\arccos\left(\frac{{a}\cdot{b}}{\|{a}\|\times\|{b}\|}\right)\)

La fonction arccos est tout simplement la fonction cos⁻¹ de votre calculatrice.

L'opération du produit vectoriel :

\({w}={u}\times{v}\)

Le résultat du produit vectoriel est un vecteur perpendiculaire aux deux vecteurs (u et v) de l'opération ; le sens de ce vecteur dépend de l'ordre des opérandes dans la multiplication.

On le calcul d'après la formule suivante :

\({w}={u}\times{v}=(({u}_{y}{v}_{z}-{u}_{z}{v}_{y}),({u}_{z}{v}_{x}-{u}_{x}{v}_{z}),({u}_{x} {v}_{y}-{u}_{y}{v}_{x}))\)

Résumé :

Nous avons vu la notion de vecteur ; objet mathématique fondamentale dans la réalisation d'un jeu vidéo en 2D ou 3D.